Le groupe modulaire \(\Lambda\)
Notons: \[ \begin{aligned} T_{\lambda} \; & = t \longmapsto t+2 & = \pm \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ S_{\lambda} \; & = t \longmapsto \frac{t}{2t+1} & = \pm \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned} \] On voit immédiatement que: \[ T_{\lambda} = T_{\Gamma}^2 \qquad \text{et} \qquad S_{\lambda} = S_{\Gamma} \circ T_{\Gamma}^{-2} \circ S_{\Gamma} \] et donc: \[ T_{\lambda}^n = T_{\Gamma}^{2n} = \pm \begin{pmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{et} \qquad S_{\lambda}^n = S_{\Gamma} \circ T_{\Gamma}^{-2n} \circ S_{\Gamma} = \pm \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2n & 1 \end{pmatrix} \] car \( S_{\Gamma}^2 = Id \).
Soit \(\Lambda\) le sous-groupe de \(\Gamma\) des transformations \( \pm \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) telles que \(a\) et \(d\) soient impairs et \(b\) et \(c\) soient pairs.
On vérifie facilement que \(\Lambda\) est bien un groupe car: \(1\) étant impair et \(0\) pair, il contient l'identité \(\pm \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\), s'il contient \(\pm \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) (donc \(a\) et \(c\) impairs et \(b\) et \(c\) pairs), alors il contient son inverse \(\pm \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\), et en appliquant le produit: \[ \pm \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \times \pm \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix} = \pm \begin{pmatrix} a a' + b c' & a b' + b d' \\ c a' + d c' & c b' + d d' \end{pmatrix}\] on a: \[ \begin{aligned} a,d,a',d' \text{ impairs et } b,c,b',c' \text{ pairs } \; & \Longrightarrow \; a a' + b c' \text{ impair} \\ & \Longrightarrow \; a b' + b d' \text{ pair} \\ & \Longrightarrow \; c a' + d c' \text{ pair} \\ & \Longrightarrow \; c b' + d d' \text{ impair} \end{aligned} \] donc le produit de deux éléments de \(\Lambda\) est dans \(\Lambda\). Ainsi, \(\Lambda\) est bien un sous-groupe de \(\Gamma\).
Montrons, maintenant que:
Le lemme suivant nous sera utile:
Démonstration:
Soit \(q \in \mathbb{Z}\) le quotient de la division euclidienne de \(x\) par \(2y\): \[ x = 2qy + r \qquad \text{ et } \qquad 0 \leq r < |2y| \] Notons que \(r\) a la même parité que \(x\).
Si \( 0 \leq r < |y| \) , alors: \( 0 \leq x-2qy = r < |y| \) , donc \(n=-q\) satisfait le lemme.
Sinon \( |y| \leq r < |2y| \) mais, comme \(r\) est de parité différente de \(y\), on a alors: \[ |y| < x-2qy = r < |2y| \tag{*} \] Si \(y < 0\) , l'inégalité \((*)\) devient: \( -y < x-2qy < -2y \) , d'où: \( y < x-2(q-1)y < 0 \) et \(n=1-q\) satisfait le lemme.
Si \(y > 0\) , l'inégalité \((*)\) devient: \( y < x-2qy < 2y \) , d'où: \( -y < x-2(q+1)y < 0 \) et \(n=-q-1\) satisfait le lemme.
Soit la propriété \(P'(n)\) : Toute transformation \( T = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Lambda\) avec \( |c| < 2n \) , est engendrée par \(T_{\lambda}\) et \(S_{\lambda}\).
On voit que \(P'(1)\) implique: \(c=0\) (car \(c\) est pair) donc, comme \(ad-bc=1\), \(T\) est de la forme: \( \pm \begin{pmatrix} 1 & 2k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = T_{\lambda}^k \). \(P'(1)\) est donc vraie.
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Faisons l'hypothèse que \(P'(n)\) soit vraie.
Soit une transformation \( T = \pm \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Lambda\) vérifiant \( |c| = 2n \).
Si \(|a| < |c|\) , alors le lemme appliqué à \(x=c\) et \(y=a\) nous dit qu'il existe \(k\) tel que: \( |c+2ka| < |a| \). Donc: \[ T' = S_{\lambda}^{k} \circ T = \pm \begin{pmatrix} a & b \\ c+2ka & d+2kb \end{pmatrix} = \pm \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix} \] avec \( |c'| < |a'| = |a| < |c| = 2n \) . Donc, d'après l'hypothèse, \(T'\) est engendrée par \(T_{\lambda}\) et \(S_{\lambda}\). Et donc, \(T\) pouvant s'écrire \(T = S_{\lambda}^{-k} \circ T'\), est également engendrée par \(T_{\lambda}\) et \(S_{\lambda}\). Donc \(P'(n+1)\) est vraie.
Si \(|a| > |c|\) , le lemme (avec \( x=a \) et \(y=c\)) assure l'existence de \(k\) tel que: \(|a+2kc| < |c|\) . Donc: \[ T' = T_{\lambda}^k \circ T = \pm \begin{pmatrix} a+2kc & b+2kd \\ c & d \end{pmatrix} = \pm \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix} \] Avec \( |a'| < |c'| = |c| \). Appliquons une nouvelle fois le lemme avec \(x=c'\) et \(y=a'\) : il existe \(k'\) tel que: \( |c'+2k'a'| < |a'| \) . D'où: \[ T'' = S_{\lambda}^{k'} \circ T' = \pm \begin{pmatrix} a' & b' \\ c'+2k'a' & d'+2k'b' \end{pmatrix} = \pm \begin{pmatrix} a'' & b'' \\ c'' & d'' \end{pmatrix} \] Avec \( |c''| < |a''| = |a'| < |c| = 2n \) . Donc, d'après l'hypothèse, \(T''\) est engendrée par \(T_{\lambda}\) et \(S_{\lambda}\). Et donc, \(T\) pouvant s'écrire \(T = T_{\lambda}^{-k} \circ T' = T_{\lambda}^{-k} \circ S_{\lambda}^{-k'} \circ T'' \), est également engendrée par \(T_{\lambda}\) et \(S_{\lambda}\). Donc \(P'(n+1)\) est vraie.
Par récurrence \(P'(n)\) est donc vraie pour tout \(n > 0\):
Il est équivalent de dire: \(\Lambda\) est inclus dans le sous-groupe de \(\Gamma\) engendré par \(T_{\lambda}\) et \(S_{\lambda}\). Mais \(T_{\lambda} \in \Lambda\) et \(S_{\lambda} \in \Lambda\) donc le sous-groupe engendré par \(T_{\lambda}\) et \(S_{\lambda}\) est inclus dans \(\Lambda\). Ce qui achève la démonstration.
Domaines fondamentaux de \(\Lambda\)
Il est bien connu que pour étudier les fonctions périodiques, il suffit de les étudier dans un intervalle de longueur égale à leur période. Pour les fonctions automorphes, il existe un parallèle à ce principe. On montre que pour tout groupe discret de transformations du plan complexe (ou de \(\mathscr{H}\)), il existe une partition de \(\mathbb{C}\) (ou \(\mathscr{H}\)) en "domaines" tels que chacun d'entre eux soit exactement l'image d'un autre pas une seule transformation de ce groupe. Ainsi, l'étude d'une fonction automorphe peut résumer à l'étude de cette fonction dans un tel domaine. Bien entendu, je schématise, car en réalité, bien des subtilités sont à prendre en compte, et au fond, ce n'est pas si simple.
Dans le cas du groupe \( \Lambda \), nous allons montrer que de tels domaines existent. Ainsi, nous pourrons nous "contenter" d'étudier la fonction \(\lambda\) dans un seul de ces domaines.
Soit \(F_{\Lambda}\) l'ensemble des complexes \(z\) de \(\mathscr{H}\) tels que: \[ -1 \leq \Re(z) < 1 \text{ et } |2z+1| \geq 1 \text{ et } |2z-1| > 1 \]
Démonstration:
Soit \( z \in \mathscr{H} \).
L'ensemble \( \left\{ cz+d ; c \in \mathbb{Z} , d \in \mathbb{Z} \right\} \) est discret, donc son intersection avec l'ensemble \( \left\{ t \in \mathbb{C} ; |t| \leq z \right\} \) est finie et non vide (car elle contient \(z\)). Cette intersection admet donc au moins un élément \(cz+d\) tel que \(|cz+d|\) soit minimal.
Soit, donc, \( A = \pm \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Lambda \) tel que \( |cz+d| \) soit minimal. Ainsi, comme pour tout complexe \(t\), on a: \( \Im (A(t)) = \frac{\Im (t)}{{|cz+d|}^2} \) , alors: \[ \forall T \in \Lambda \quad \Im (T(\omega)) \leq \Im (\omega) \]
Il existe alors \(n \in \mathbb{Z}\) tel que: \[ \omega = (T_{\lambda}^n \circ A)(z) \qquad \text{ et } \qquad -1 \leq \Re(\omega) < 1 \] Donc, comme \(T_{\lambda}\) conserve la partie imaginaire, on a: \( \Im(A(z)) = \Im(\omega) \) est toujours "maximal".
Montrons alors que: \( |2 \omega + 1| \geq 1 \)
En effet, si l'on suppose que \( |2 \omega + 1| < 1 \) , alors: \[ \Im(S_{\lambda}(\omega)) = \frac{\Im(\omega)}{{|2 \omega + 1|}^2} > \Im(\omega) \] ce qui contredit la "maximalité" de \(\Im(\omega)\) pour toute transformation de \( \Lambda \).
On montre également que: \( |2 \omega - 1| \geq 1 \)
En effet, si l'on suppose que \( |2 \omega - 1| < 1 \) , alors: \[ \Im(S_{\lambda}^{-1}(\omega)) = \frac{\Im(\omega)}{{|2 \omega - 1|}^2} > \Im(\omega) \] qui contredit également la "maximalité" de \(\Im(\omega)\) pour toute transformation de \( \Lambda \).
Nous avons une transformation \( (T_{\lambda}^n \circ A) \in \Lambda \) qui envoie \(z\) dans \(F_{\Lambda}\). Donc, tout élément \(z\) est l'image par une transformation \( (A^{-1} \circ T_{\lambda}^{-n}) \in \Lambda \) d'au moins un élément de \(F_{\Lambda}\).
Il reste à montrer l'unicité. Pour cela, supposons qu'il existe: \(z \in F_{\Lambda}\) , \(z' \in F_{\Lambda}\) et \( A \in \Lambda \) tels que: \( z' = A(z) \).
Quitte à permuter \(z\) et \(z'\) et à considérer \(A^{-1}\) au lieu de \(A\), posons: \( \Im(z') \geq \Im(z) \) d'où, si \(A\) s'écrit \( \pm \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) : \[ \frac{\Im(z)}{{|cz+d|}^2} \geq \Im(z) \] Donc: \[ |cz+d| \leq 1 \] Si \(c=0\), alors \(|d|=1\), donc \(a=d\) et \(c=2k\) est un entier pair. D'où: \(A = T_{\lambda}^k\) est une translation. Mais \(z \in F_{\Lambda} \) implique alors \(k=0\) et donc \(A\) est l'identité.
Si \(c \neq 0\) , l'inégalité peut s'écrire: \( |z+\frac{d}{c}| \leq \frac{1}{|c|} \) . On remarque alors qu'en fonction de \(c\) et \(d\) , \(z\) est dans un demi-disque de centre \( -\frac{d}{c} \) et de rayon \( \frac{1}{|c|} \). Il est alors facile de remarquer que le seul de ces demi-disques à avoir une intersection non vide avec \(F_{\Lambda}\) est celui de centre \(-\frac{1}{2}\) et de rayon \(1\).
Une propriété algébrique
Pour continuer notre étude de la fonction \(\lambda\) et obtenir des équations modulaires, nous aurons besoin d'un dernier résultat purement algébrique.
Dans tout ce qui suit, \(r\) sera un nombre premier impair. Quelques définitions nous simplifierons les choses:
Soit \(T_r\) l'ensemble des transformations \( \pm \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) telles que \(ad-bc=r\) , \(a\) et \(d\) soient impairs et \(b\) et \(c\) soient pairs.
Soit \(r\) un nombre premier impair et soit: \[ \mathscr{B} = \left\{ B_r = \pm \begin{pmatrix} r & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , B_j = \pm \begin{pmatrix} 1 & 2j \\ 0 & r \end{pmatrix} , j = 0, 1, \dots , r-1 \right\} \] Nous dirons que deux transformations \(M\) et \(N\) sont équivalentes modulo \(\Lambda\) s'il existe \(T \in \Lambda\) telle que: \(M = T \circ N\). Il est facile de vérifier que nous avons bien là une relation d'équivalence. Nous avons alors le résultat suivant:
Toute transformation de \(T_r\) , est équivalente modulo \(\Lambda\) à une transformation de \(\mathscr{B}\).
Les \(r+1\) transformations de \(\mathscr{B}\) ne sont pas deux à deux équivalentes modulo \(\Lambda\).
Démonstration:
Soit la propriété \(P''(n)\) : Toute transformation \( T = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in T_r \) avec \( |c| < 2n \) , est \(\Lambda\) équivalente à un élément de \(\mathscr{B}\).
On voit que \(P''(1)\) implique: \(c=0\) (\(c\) est pair) donc, comme \(ad-bc=r\) qui est premier, \(T\) est de la forme: \( \pm \begin{pmatrix} 1 & 2k \\ 0 & r \end{pmatrix} \) ou \( \pm \begin{pmatrix} r & 2k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \).
Dans le premier cas, par division euclidienne, il existe \(m\) tel que: \( 2k = 2mr + R \) et \( 0 \leq R < 2r \) , donc: \[ T_{\lambda}^{-m} \circ T = \pm \begin{pmatrix} 1 & 2k-2mr \\ 0 & r \end{pmatrix} \in \mathscr{B} \] car \( 0 \leq 2k-2mr = R < 2r \) est un entier pair.
Dans le second cas, on a directement: \[ T_{\lambda}^{-k} \circ T = \pm \begin{pmatrix} r & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in \mathscr{B} \]
Donc \(P''(1)\) est vraie.
Supposons, pour \(n\) fixé et strictement supérieur à \(0\), que \(P''(n)\) soit vraie. Alors, pour toute transformation \( T = \pm \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in T_r\) vérifiant \( |c| = 2n \), le lemme précédent (avec \( x=a \) et \(y=c\)) nous assure l'existence de \(k\) tel que: \(|a+2kc| < |c|\) . Ainsi: \[ T' = T_{\lambda}^k \circ T = \pm \begin{pmatrix} a+2kc & b+2kd \\ c & d \end{pmatrix} = \pm \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix} \] Le lemme, appliqué à \(x=c'\) et \(y=a'\), nous garantit l'existence de \(k'\) tel que: \( |c'+2k'a'| < |a'| \) . Notons alors: \[ T'' = S_{\lambda}^{k'} \circ T' = \pm \begin{pmatrix} a' & b' \\ c'+2k'a' & d'+2k'b' \end{pmatrix} = \pm \begin{pmatrix} a'' & b'' \\ c'' & d'' \end{pmatrix} \] Dans ces conditions, on a: \( |c''| = |c'+2k'a'| < |a'| = |a+2kc| < |c| = 2n \) . Et donc, par hypothèse, \(T''\) est \(\Lambda\) équivalente à un élément de \(\mathscr{B}\). Mais alors: \[ T = T_{\lambda}^{-k} \circ S_{\lambda}^{-k'} \circ T'' \] est également \(\Lambda\) équivalente à un élément de \(\mathscr{B}\), et \(P''(n+1)\) est vraie.
Par récurrence, \(P''(n)\) est donc vraie pour tout \(n > 0\):
Soit une transformation \( T = \pm \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Lambda \). Résolvons, pour \(0 \leq j < r\) et \(0 \leq k < r\) , l'équation: \( T \circ B_j = B_k \) , on a alors: \[ \begin{pmatrix} a & br+2ja \\ c & dr+2jc \end{pmatrix} = \pm \begin{pmatrix} 1 & 2k \\ 0 & r \end{pmatrix} \] ce qui mène directement à: \( c = 0 \) , \( |a|=1 \) , \(|d|=1\) et \( |br + 2j| = 2k \). Et, comme \(b\) est pair et \(k < r\), cette dernière égalité est équivalente à: \(b=0\).
Pareillement, l'équation \( T \circ B_j = B_r \) donne: \[ \begin{pmatrix} a & br+2ja \\ c & dr+2jc \end{pmatrix} = \pm \begin{pmatrix} r & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] qui est impossible car on aurait alors \(c=0\) et donc \(dr=1\).
Enfin, l'équation \( T \circ B_r = B_r \) donne: \[ \begin{pmatrix} ar & b \\ cr & d \end{pmatrix} = \pm \begin{pmatrix} r & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] d'où: \(|a|=1\) , \(b=0\) , \(c=0\) et \(|d|=1\).
Ainsi, dans \( \mathscr{B} \) , les \(B_j\) ne sont \(\Lambda\) équivalents qu'à eux même. CQFD.
De ce qui précède, nous pouvons déduire un résultat fondamental pour ce qui va suivre. En effet, considérons les fonctions \(\lambda \circ B_j\) pour \(0 \leq j \leq r\) et voyons ce qui arrive lorsqu'on les applique à \(T\) pour \(T \in \Lambda\).
On voit que, pour tout \(T \in \Lambda\) , \(B_j \circ T \in T_r\) (par la multiplication des déterminants et par conservation de la propriété des \(a\) et \(d\) impairs et \(b\) et \(c\) pairs). Donc, si \(T\) n'est pas l'identité, on a: \( B_j \circ T \) est \(\Lambda\) équivalent à \(B_{j'}\) et \(j \neq j'\). Dit autrement: il existe \(S \in \Lambda\) tel que: \( B_j \circ T = S \circ B_{j'} \). Ainsi, en appliquant la fonction \(\lambda\) aux deux membres de cette dernière égalité, et parce qu'elle est invariante par toute transformation de \(\Lambda\), on a: \[ \lambda \circ B_j \circ T = \lambda \circ B_{j'} \qquad ; \qquad (j = j') \Longleftrightarrow (T = Id) \] Nous avons donc le résultat suivant: