Récapitulons quelques définitions et formules que nous avons établi. Nous savons que, pour \( a > b > 0 \): \[ K \left( \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} \right) = a I(a,b) \qquad \mbox{et} \qquad I(a,b) = \frac{\pi}{2 M(a,b)} \] En faisant \( a = 1 \) et \( b = k \) dans ces dernières égalités, on tire: \[ K(\sqrt{1 - k^2}) = \frac{\pi}{2 M(1,k)} \] qui peut aussi s'écrire: \[ K(k) = \frac{\pi}{2 M(1,k')} \] or, en remplaçant \(k\) par \( \frac{2 \sqrt{k}}{1+k} \), alors \(k'\) devient: \[ \begin{aligned} k' \; & = \sqrt{1 - {\frac{2 \sqrt{k}}{1+k}}^2} \\ & = \sqrt{1 - \frac{4k}{{(1+k)}^2}} \\ & = \sqrt{\frac{{(1+k)}^2 - 4k}{{(1+k)}^2}} \\ & = \sqrt{\frac{{(1-k)}^2}{{(1+k)}^2}} \\ & = \frac{1-k}{1+k} \end{aligned} \] on a donc: \[ K \left( \frac{2 \sqrt{k}}{1+k} \right) = \frac{\pi}{2 M \left( 1, \frac{1-k}{1+k} \right)} \] et, comme \( M( \lambda a , \lambda b ) = \lambda M(a,b) \) pour tout \( \lambda > 0 \) et \( M(a,b) = M \left( \frac{a+b}{2} , \sqrt{ab} \right) \), on peut écrire: \[ \begin{aligned} K \left( \frac{2 \sqrt{k}}{1+k} \right) \; & = \frac{\pi}{2 M \left( 1, \frac{1-k}{1+k} \right)} \\ & = (1+k) \frac{\pi}{2 M(1+k , 1-k)} \\ & = (1+k) \frac{\pi}{2 M(1, \sqrt{1 - k^2})} \\ & = (1+k) \frac{\pi}{2 M(1, k')} \\ & = (1+k) K(k) \end{aligned} \] De la même manière, calculons: \[ \begin{aligned} K' \left( \frac{2 \sqrt{k}}{1+k} \right) \; & = K \left( \frac{1-k}{1+k} \right) \\ & = \frac{\pi}{2 M \left( 1 , \sqrt{1 - \frac{{(1-k)}^2}{{(1+k)}^2}} \right) } \end{aligned} \] et comme pour \( x \in ]0;1[ \) on a \( M(1+x, 1-x) = M( 1, \sqrt{1 - x^2}) \) , on peut écrire: \[ \begin{aligned} K' \left( \frac{2 \sqrt{k}}{1+k} \right) \; & = \frac{\pi}{2 M \left( 1 + \frac{1-k}{1+k} , 1 - \frac{1-k}{1+k} \right) } \\ & = \frac{\pi}{2 M \left( \frac{2}{1+k} , \frac{2k}{1+k} \right) } \\ & = \frac{1+k}{2} \frac{\pi}{2 M(1,k)} \\ & = \frac{1+k}{2} K'(k) \end{aligned} \] On a donc la formule:

Cette formule est très interessante. Nous savons en effet que \(k\) peut s'écrire: \[ k = \frac{\theta_2^2(q)}{\theta_3^2(q)} \tag{1} \] avec \[ q = e^{- \pi \frac{K'(k)}{K(k)}} \tag{2} \] Et donc, si on pose \( l = \frac{2 \sqrt{k}}{1+k} \) , alors on a \( l = \frac{\theta_2^2(\sqrt{q})}{\theta_3^2(\sqrt{q})}\).

Pour le dire autrement, les valeurs de \( k = \frac{\theta_2^2(q)}{\theta_3^2(q)} \) et \( l = \frac{\theta_2^2(\sqrt{q})}{\theta_3^2(\sqrt{q})}\) sont liés par une relation algébrique qui peut s'écrire: \[ l = \frac{2 \sqrt{k}}{1+k} \] ou encore: \[ l^2 {(1+k)}^2 - 4k = 0 \tag{3} \] Cette dernière écriture est tout à fait équivalente dans la mesure où l'on ne considère que les solutions \(k\) et \(l\) dans l'intervalle \( ]0;1[ \).

L'équation \((3)\) est appelée équation modulaire d'ordre 2. On peut l'écrire de plusieurs manières, par exemple, à l'aide des fonctions theta: \[ \frac{\theta_2^4(q)}{\theta_3^4(q)} {\left( 1 + \frac{\theta_2^2(q^2)}{\theta_3^2(q^2)} \right)}^2 - 4 \frac{\theta_2^2(q^2)}{\theta_3^2(q^2)} = 0 \] qui peut aussi s'écrire (en se servant de l'identité \((6)\) du premier chapitre sur les fonctions theta): \[ \theta_2^2(q) = 2 \theta_3(q^2) \theta_2(q^2) \] Ainsi, on pourrait appeler équation modulaire d'ordre \(n\) toute équation algébrique ne faisant intervenir que les fonctions theta avec les arguments \(q\) et \(q^n\). Mais en existe-t-il toujours une pour un \(n\) donné ? Car, c'est là que se trouve le miracle évoqué par Gauss lorsqu'il parle de phénomène qui ouvrira sûrement un champ tout à fait nouveau en analyse. Ces fonctions theta ne font probablement pas partie de votre formulaire des "fonctions usuelles" (à moins que vous ne soyez un spécialiste). N'est-il pas extraordinaire qu'il existe une relation algébrique entre les valeurs de ces fonctions en \(q\) et \(q^2\) ? Voyons cela de plus près, essayons de trouver d'éventuelles relations avec \(q\) et \(q^n\)...

La formule de Schröter

Pour \( x \neq 0 \) et \( |q| < 1 \), posons: \[ T(x,q) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} x^n \; q^{n^2} \] Nous remarquons immédiatement que \[ \begin{aligned} \theta_3(q) \; & = T(1,q) \\ \theta_4(q) \; & = T(-1,q) \\ \theta_2(q) \; & = q^{\frac{1}{4}} T(q,q) \end{aligned} \] ainsi que \[ T \left( \frac{1}{x},q \right) = T(x,q) \tag{4} \] De plus \[ \begin{aligned} T(-q,q) \; & = \sum_{n \in \mathbb{Z}} {(-q)}^n q^{n^2} \\ & = \sum_{n \in \mathbb{Z}} {(-1)}^n q^{n(n+1)} \\ & = \sum_{k=0}^{+ \infty} {(-1)}^k q^{k(k+1)} + {(-1)}^{-1-k} q^{(-1-k)(-1-k+1)} \qquad \text{en groupant } n = k \text{ et } n = -k-1 \\ & = \sum_{k=0}^{+ \infty} {(-1)}^k ( q^{k(k+1)} + {(-1)}^{-1-2k} q^{(1+k)k} ) \\ & = \sum_{k=0}^{+ \infty} {(-1)}^k ( q^{k(k+1)} - q^{k(k+1)} ) \\ & = 0 \end{aligned} \] Une dernière identité nous sera utile, pour \( k \in \mathbb{Z} \): \[ \begin{aligned} q^k \; T(q^{m+k}, q^m) \; & = q^k \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{n(m+k)} q^{mn^2} \\ & = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{mn^2 + mn + kn + k} \\ & = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{mn^2 + 2mn + m + kn + k - mn - m} \\ & = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{k(n+1)-m(n+1)} q^{mn^2 + 2mn + m} \\ & = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{(k-m)(n+1)} q^{m{(n+1)}^2} \\ & = \sum_{n' \in \mathbb{Z}} q^{(k-m)n'} q^{m {n'}^2} \qquad \text{en posant } n'=n+1 \\ & = T(q^{k-m},q^m) \\ & = T(q^{m-k},q^m) \qquad \text{en vertu de } (4) \end{aligned} \]

Nous avons maintenant tous les outils pour montrer la formule de Schröter. Soient \(a\) et \(b\) deux entiers strictement positifs, écrivons alors: \[ \begin{aligned} T(x,q^a) T(y,q^b) \; & = \left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} x^n q^{an^2} \right) \left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} y^n q^{bn^2} \right) \\ & = \sum_{(m,n) \in {\mathbb{Z}}^2} x^m y^n q^{am^2 + bn^2} \end{aligned} \] Lorsque \(m\) et \(n\) parcourent \(\mathbb{Z}\), définissons \(s\) comme le quotient de la division euclidienne de \((n-m)\) par \((a+b)\) avec \(k\) comme reste de telle manière que: \[ n - m = s (a+b) + k \qquad 0 \leq k < (a+b) \] Posons alors: \[ u = m + s b \] Par construction, chaque couple \((m,n) \in {\mathbb{Z}}^2 \) donne un triplet \((s,k,u) \in \mathbb{Z} \times \{0,1,\dots,a+b-1\} \times \mathbb{Z} \), et, réciproquement, chaque triplet \((s,k,u) \in \mathbb{Z} \times \{0,1,\dots,a+b-1\} \times \mathbb{Z} \) admet un unique couple \((m,n)\) d'antécédents: \[ \left\{ \begin{array}{ll} n & = u + a s + k \\ m & = u - b s \end{array} \right. \]

Dans ces conditions, on a donc: \[ \begin{aligned} x^m y^n & = x^{u - b s} y^{u + a s + k} \\ & = {(x y)}^u x^{-b s} y^{a s + k} \\ & = {(x y)}^u {(x^{-b} y^a)}^s y^k \end{aligned} \] ainsi que: \[ \begin{aligned} am^2 + bn^2 & = a {(u - b s)}^2 + b {(u + a s + k)}^2 \\ & = a ( u^2 - 2 b s u + b^2 s^2 ) + b ( u^2 + a^2 s^2 + k^2 + 2 a s u + 2 u k + 2 a s k ) \\ & = (a+b) u^2 + a b (a+b) s^2 + b ( k^2 + 2 u k + 2 a s k ) \\ & = (a+b) u^2 + a b (a+b) s^2 + b k^2 + 2 b u k + 2 a b s k \end{aligned} \] On a donc: \[ \begin{aligned} T(x,q^a) T(y,q^b) \; & = \sum_{(m,n) \in {\mathbb{Z}}^2} x^m y^n q^{am^2 + bn^2} \\ & = \sum_{(u,s) \in {\mathbb{Z}}^2} \sum_{k=0}^{a+b-1} {(x y)}^u {(x^{-b} y^a)}^s y^k q^{(a+b) u^2 + a b (a+b) s^2 + b k^2 + 2 b u k + 2 a b s k} \\ & = \sum_{k=0}^{a+b-1} y^k q^{b k^2} \sum_{(u,s) \in {\mathbb{Z}}^2} {(x y)}^u {(x^{-b} y^a)}^s q^{(a+b) u^2 + a b (a+b) s^2 + 2 b u k + 2 a b s k} \\ & = \sum_{k=0}^{a+b-1} y^k q^{b k^2} \sum_{(u,s) \in {\mathbb{Z}}^2} {(x y q^{2bk})}^u {(x^{-b} y^a q^{2abk})}^s q^{(a+b) u^2} q^{a b (a+b) s^2} \\ & = \sum_{k=0}^{a+b-1} y^k q^{b k^2} \left( \sum_{u \in \mathbb{Z}} {(x y q^{2bk})}^u q^{(a+b) u^2} \right) \left( \sum_{s \in \mathbb{Z}} {(x^{-b} y^a q^{2abk})}^s q^{a b (a+b) s^2} \right) \\ & = \sum_{k=0}^{a+b-1} y^k q^{b k^2} \; T( x y q^{2bk} , q^{a+b} ) \; T( x^{-b} y^a q^{2abk} , q^{a b (a+b)} ) \end{aligned} \] Nous venons donc de montrer la formule de Schröter:

En faisant, dans cette formule, \( a=3 \) et \( b=1 \), on a: \[ T(x,q^3) \; T(y,q) = \sum_{k=0}^4 y^k q^{k^2} \; T( x y q^{2k} , q^4 ) \; T( x^{-1} y^3 q^{6k} , q^{12} ) \tag{6} \] Et, en faisant \( x=y=1 \) dans \((6)\), on trouve: \[ \begin{aligned} T(1,q^3) \; T(1,q) \; & = \sum_{k=0}^4 q^{k^2} \; T(q^{2k} , q^4) \; T(q^{6k},q^{12} ) \\ & = T(1,q^4) T(1,q^{12}) + q T(q^2,q^4) T(q^6,q^{12}) + q^4 T(q^4,q^4) T(q^{12},q^{12}) + q^9 T(q^6,q^4) T(q^{18},q^{12}) \end{aligned} \] En faisant \( x=y=-1 \) dans \((6)\), on a: \[ \begin{aligned} T(-1,q^3) \; T(-1,q) \; & = \sum_{k=0}^4 {(-1)}^k q^{k^2} \; T(q^{2k} , q^4) \; T(q^{6k},q^{12} ) \\ & = T(1,q^4) T(1,q^{12}) - q T(q^2,q^4) T(q^6,q^{12}) + q^4 T(q^4,q^4) T(q^{12},q^{12}) - q^9 T(q^6,q^4) T(q^{18},q^{12}) \end{aligned} \] En sommant ces deux dernières égalités et en reconnaissant les fonctions theta, on trouve: \[ \begin{aligned} \theta_3(q^3) \theta_3(q) + \theta_4(q^3) \theta_4(q) \; & = 2 T(1,q^4) T(1,q^{12}) + 2 q^4 T(q^4,q^4) T(q^{12},q^{12}) \\ & = 2 \theta_3(q^4) \theta_3(q^{12}) + 2 \theta_2(q^4) \theta_2(q^{12}) \end{aligned} \tag{7} \] De la même manière, en faisant dans \((6)\), \( x=q^3 \) et \( y=q \) puis \( x=-q^3 \) et \( y=-q \) et en sommant les deux égalités obtenues, on trouve: \[ T(q^3,q^3) T(q,q) + T(-q^3,q^3) T(-q,q) = 2 T(q^4,q^4) T(1,q^{12}) + 2 q^6 T(q^8,q^4) T(q^{12},q^{12}) \] Rappelons-nous que \( T(-q,q) = 0 \) et que \( q^4 T(q^8,q^4) = T(1,q^4) \) , on a donc: \[ T(q^3,q^3) T(q,q) = 2 T(q^4,q^4) T(1,q^{12}) + 2 q^2 T(1,q^4) T(q^{12},q^{12}) \] et, comme \( q^{\frac{1}{4}} T(q,q) = \theta_2(q) \) , on peut écrire: \[ \begin{aligned} \theta_2(q^3) \theta_2(q) & = q \; T(q^3,q^3) T(q,q) \\ & = 2 q \; T(q^4,q^4) T(1,q^{12}) + 2 q^3 T(1,q^4) T(q^{12},q^{12}) \\ & = 2 \theta_2(q^4) \theta_3(q^{12}) + 2 \theta_3(q^4) \theta_2(q^{12}) \end{aligned} \tag{8} \] En additionnant \((7)\) et \((8)\), on obtient: \[ \begin{aligned} & \theta_3(q^3) \theta_3(q) + \theta_4(q^3) \theta_4(q) + \theta_2(q^3) \theta_2(q) \\ & \qquad \qquad = 2 \theta_3(q^4) \theta_3(q^{12}) + 2 \theta_2(q^4) \theta_2(q^{12}) + 2 \theta_2(q^4) \theta_3(q^{12}) + 2 \theta_3(q^4) \theta_2(q^{12}) \\ & \qquad \qquad = 2 \left( \theta_3(q^4) + \theta_2(q^4) \right) \left( \theta_3(q^{12}) + \theta_2(q^{12}) \right) \\ & \qquad \qquad = 2 \theta_3(q) \theta_3(q^3) \end{aligned} \] La dernière ligne venant d'une formule vue précédemment: \( \theta_3(q^4) + \theta_2(q^4) = \theta_3(q) \) . Nous venons d'obtenir une forme de l'équation modulaire d'ordre 3:

Pour obtenir une forme avec \( k = k(q) = \frac{\theta_2^2(q)}{\theta_3^2(q)} \) et \( l = k(q^3) = \frac{\theta_2^2(q^3)}{\theta_3^2(q^3)} \), on peut écrire: \[ \frac{\theta_4(q)}{\theta_3(q)} \frac{\theta_4(q^3)}{\theta_3(q^3)} + \frac{\theta_2(q)}{\theta_3(q)} \frac{\theta_2(q^3)}{\theta_3(q^3)} = 1 \] pour voir immédiatement: \[ \sqrt{k' l'} + \sqrt{k l} = 1 \] Il existe donc bien une relation algébrique entre \(k(q)\) et \(k(q^3)\). Gauss avait raison semble-t-il. Il y a quelque phénomène caché derrière. Allons plus loin encore...

Faisons \( a=7 \) et \( b=1 \) dans la formule de Schröter: \[ T(x,q^7) \; T(y,q) = \sum_{k=0}^7 y^k q^{k^2} \; T( x y q^{2k} , q^8 ) \; T( x^{-1} y^7 q^{14k} , q^{56} ) \tag{9} \] Et suivons la même démarche, faisons la somme des cas avec \( x=y=1 \) et \( x=y=-1 \) : \[ T(1,q^7) \; T(1,q) = \sum_{k=0}^7 q^{k^2} \; T(q^{2k},q^8) \; T(q^{14k},q^{56}) \] \[ T(-1,q^7) \; T(-1,q) = \sum_{k=0}^7 {(-1)}^k q^{k^2} \; T(q^{2k},q^8) \; T(q^{14k},q^{56}) \] soit: \[ \begin{aligned} T(1,q^7) \; T(1,q) + & T(-1,q^7) \; T(-1,q) \\ & = 2 \sum_{k=0}^3 q^{4k^2} \; T(q^{4k},q^8) \; T(q^{28k},q^{56}) \\ & = 2 T(1,q^8) T(1,q^{56}) + 2 q^4 T(q^4,q^8) T(q^{28},q^{56}) \\ & \qquad + 2 q^{16} T(q^8,q^8) T(q^{56},q^{56}) + 2 q^{36} T(q^{12},q^8) T(q^{84},q^{56}) \end{aligned} \] En notant que \( q^4 T(q^{12},q^8) = T(q^4,q^8) \) et que \( q^{28} T(q^{84},q^{56}) = T(q^{28},q^{56}) \) , ça donne: \[ \begin{aligned} T(1,q^7) \; & T(1,q) + T(-1,q^7) \; T(-1,q) \\ & = 2 T(1,q^8) T(1,q^{56}) + 4 q^4 T(q^4,q^8) T(q^{28},q^{56}) + 2 q^{16} T(q^8,q^8) T(q^{56},q^{56}) \end{aligned} \] que l'on peut écrire: \[ \begin{aligned} \theta_3(q^7) \theta_3(q) & + \theta_4(q^7) \theta_4(q) \\ & = 2 \theta_3(q^8) \theta_3(q^{56}) + 4 q^4 T(q^4,q^8) T(q^{28},q^{56}) + 2 \theta_2(q^8) \theta_2(q^{56}) \end{aligned} \tag{10} \] Même chose pour \( x=q^7 , y=q \) et \( x=-q^7 , y=-q \) (en se rappelant que \( T(-q,q)=0 \) ): \[ T(q^7,q^7) \; T(q,q) = \sum_{k=0}^7 q^{k+k^2} \; T( q^{2k+8} , q^8 ) \; T( q^{14k} , q^{56} ) \] \[ T(-q^7,q^7) \; T(-q,q) = 0 = \sum_{k=0}^7 {(-1)}^k q^{k+k^2} \; T( q^{2k+8} , q^8 ) \; T( q^{14k} , q^{56} ) \] On obtient: \[ \begin{aligned} T(q^7,q^7) \; T(q,q) \; & = 2 \sum_{k=0}^3 q^{2k+4k^2} \; T( q^{4k+8} , q^8 ) \; T( q^{28k} , q^{56} ) \\ & = 2 T(q^8,q^8) T(1,q^{56}) + 2 q^6 T(q^{12},q^8) T(q^{28},q^{56}) + 2 q^{20} T(q^{16},q^8) T(q^{56},q^{56}) + 2 q^{42} T(q^{84},q^{56}) \end{aligned} \] qui donne après réduction: \[ T(q^7,q^7) \; T(q,q) = 2 T(q^8,q^8) T(1,q^{56}) + 4 q^2 T(q^4,q^8) T(q^{28},q^{56}) + 2 q^{12} T(1,q^8) T(q^{56},q^{56}) \] que l'on peut écrire, après multiplication par \(q^2\) : \[ \theta_2(q^7) \theta_2(q) = 2 \theta_2(q^8) \theta_3(q^{56}) + 4 q^4 T(q^4,q^8) T(q^{28},q^{56}) + 2 \theta_3(q^8) \theta_2(q^{56}) \tag{11} \] En ôtant \((11)\) de \((10)\), on a donc: \[ \begin{aligned} \theta_3(q^7) \theta_3(q) + & \theta_4(q^7) \theta_4(q) - \theta_2(q^7) \theta_2(q) \\ & = 2 \theta_3(q^8) \theta_3(q^{56}) + 2 \theta_2(q^8) \theta_2(q^{56}) - 2 \theta_2(q^8) \theta_3(q^{56}) - 2 \theta_3(q^8) \theta_2(q^{56}) \\ & = 2 \left( \theta_3(q^8) - \theta_2(q^8) \right) \left( \theta_3(q^{56}) - \theta_2(q^{56}) \right) \\ & = 2 \theta_4(q^2) \theta_4(q^{14}) \\ & = 2 \sqrt{\theta_3(q) \theta_4(q)} \sqrt{\theta_3(q^7) \theta_4(q^7)} \end{aligned} \] les deux dernières lignes venant de \( \theta_3(q^4)-\theta_2(q^4)=\theta_4(q) \) et de \( \theta_4(q^2) = \sqrt{\theta_3(q) \theta_4(q)} \) . On peut encore écrire cette équation: \[ \theta_3(q^7) \theta_3(q) - 2 \sqrt{\theta_3(q) \theta_3(q^7) \theta_4(q) \theta_4(q^7)} + \theta_4(q^7) \theta_4(q) = \theta_2(q^7) \theta_2(q) \] qui amène finalement à une écriture plus concise:

Voici une forme de l'équation modulaire d'ordre 7. A ce stade, nous pouvons peut-être commencer à envisager une étude plus générale car il semble vraiment que l'on puisse obtenir plusieurs équations modulaires d'ordre différents. Je n'ai traité, avec la formule de Schröter, que les cas les plus simples. Si d'autres équations modulaires peuvent être trouvées à l'aide de cette formule, c'est certainement par une quantité de calculs bien supérieure...