La moyenne arithmético-géométrique

Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs, définissons alors les suites \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) et \( (b_n)_{n \in \mathbb{N}} \) telles que: \[ a_0 = a \quad , \quad b_0 = b \] \[ a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} \] \[ b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n} \\ \]

On constate immédiatement que si \( a = b \) alors les suites \( (a_n) \) et \( (b_n) \) sont constantes donc convergentes de limite \( a = b \). De plus, par symétrie, on peut supposer que \( 0 < b < a \) et comme la moyenne arithmétique de deux réels positifs et distincts est toujours strictement supérieure à leur moyenne géométrique, on a: \[ 0 < b < b_n < b_{n+1} < a_{n+1} < a_n < a \] pour tout \( n \). Ainsi la suite \( (a_n) \) est strictement décroissante et minorée par \( b \) et la suite \( (b_n) \) est strictement croissante et majorée par \( a \). Ces suites sont donc convergentes. Notons alors \( L_a \) la limite de \( (a_n) \) et \( L_b \) la limite de \( (b_n) \).

De \[ a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} \] il vient par passage à la limite: \[ L_a = \frac{L_a + L_b}{2} \] d'où \( L_a = L_b \).

Les suites \( (a_n) \) et \( (b_n) \) sont donc convergentes avec une limite commune que nous noterons \( M(a,b) \), la moyenne arithmético-géométrique de \( a \) et \( b \). Notons quelques-unes de ses propriétés immédiates: \[ \begin{aligned} M(a,a) \; & = a \\ M(a,b) \; & = M(b,a) \\ M(c a, c b) \; & = c M(a,b) \quad , \quad c > 0 \\ M(a,b) \; & = M \left( \frac{a + b}{2} , \sqrt{a b} \right) \end{aligned} \]

L'identité \[ \begin{aligned} \left(\frac{a_n + b_n}{2}\right)^2 - a_n b_n \; & = \frac{{a_n}^2}{4} + \frac{a_n b_n}{2} + \frac{{b_n}^2}{4} - a_n b_n \\ & = \frac{{a_n}^2}{4} - \frac{a_n b_n}{2} + \frac{{b_n}^2}{4} \\ & = \left(\frac{a_n - b_n}{2}\right)^2 \end{aligned} \] donne: \[ a_{n+1}^2 - b_{n+1}^2 = \left(\frac{a_n - b_n}{2}\right)^2 \] en divisant par \( (a_{n+1} + b_{n+1}) \), on trouve: \[ a_{n+1} - b_{n+1} = \frac{(a_n - b_n)^2}{4 (a_{n+1} + b_{n+1})} \] or, si \( 0 < b < a \), par la minoration citée plus haut: \( a_{n+1} + b_{n+1} > 2 b \), donc: \[ a_{n+1} - b_{n+1} \leq \frac{(a_n - b_n)^2}{8 b} \] La convergence des suites \( (a_n) \) et \( (b_n) \) vers \( M(a,b) \) est donc quadratique. Ce qui signifie que le nombre de décimales exactes double approximativement à chaque itération. C'est une convergence extrêmement rapide ! Par exemple, en partant de \( a = 1 \) et \( b = 2 \), trois itérations suffisent pour avoir 7 décimales exactes.

Tout ceci est bien joli, me direz-vous, nous avons là de quoi nous amuser quelques minutes avec notre calculatrice. Mais où celà nous mène-t-il ? Quel est le lien avec \( \pi \) ? Eh bien, figurez-vous qu'en 1791, sans calculatrice, un jeune garçon de 14 ans s'est, lui aussi, amusé avec ces suites. Huit ans plus tard, il s'en souviendra pour faire une découverte étonnante...

Le théorème fondamental de la moyenne arithmético-géométrique

En 1799, Gauss alors agé de 22 ans, calcule \( M(1,\sqrt{2}) \) jusqu'à la onzième décimale et constate que cette quantité semble égale à \( \frac{2 \omega}{\pi} \) où: \[ \omega = \int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1 - t^4}} \] Ce résultat tout à fait extraordinaire va bouleverser les mathématiques du 19e siècle ! Et ce n'est là qu'un exemple du génie de Karl Friedrich Gauss qui écrivit à l'occasion de cette découverte:

\( M(1,\sqrt{2}) \) coïncide avec \( \frac{2 \omega}{\pi} \) jusqu'à la onzième décimale, la clarification de ce phénomène ouvrira sûrement un champ tout à fait nouveau en analyse.

Nous allons ici, comme le fit Gauss quelques années plus tard, démontrer un résultat bien plus fort que cette seule égalité. Et, comme il le prédit, ce sera le prémisse d'une fascinante aventure dans un tout petit bout du monde des mathématiques. Un monde de merveilles dans lequel nous allons descendre avec le lapin blanc au fond du gouffre...

L'intégrale elliptique complète de première espèce

Derrière ce nom qui peut faire peur à certains, se cache l'intégrale suivante: \[ I(a,b) = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{a^2 cos^2 \theta + b^2 sin^2 \theta}} \] pour \( a \) et \( b \) réels strictement positifs. En fait Gauss montrera que \( M(1,\sqrt{2}) = \frac{2 \omega}{\pi} \) dés 1800 par l'utilisation de développements en séries particulièrement ingénieux et fastidieux. Mais, sentant un lien plus profond entre la moyenne arithmético-géométrique et les intégrales elliptiques, et toujours dans l'idée de mieux comprendre ces liens, il démontrera un résultat équivalent d'une autre manière en 1816. C'est cette démonstration que nous allons reprendre ici en explicitant les calculs.

Théorème:

\[ \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{a^2 cos^2 \theta + b^2 sin^2 \theta}} = \frac{\pi}{2 M(a,b)} \]

Démonstration:

Soit la fonction: \[ f \, : \, x \longmapsto \frac{2 a x}{(a + b) + (a - b) x^2} \] On a alors: \[ \begin{aligned} f'(x) \; & = \frac{2 a ((a + b) + (a - b) x^2) - 2 a x (a - b) 2 x}{((a + b) + (a - b) x^2)^2} \\ & = 2 a \frac{(a + b) - (a - b) x^2}{((a + b) + (a - b) x^2)^2} \end{aligned} \] Si \( 0 \leq x \leq 1 \), on a: \[ 2b \leq (a + b) - (a - b) x^2 \leq a + b \qquad \mbox{ si } b \leq a \] ou \[ a + b \leq (a + b) - (a - b) x^2 \leq 2 b \qquad \mbox{ si } a \leq b \] donc, comme \( a \) et \( b \) sont strictement positifs, \( f \) est strictement croissante sur \( [0;1] \). De plus, on a \( f(0) = 0 \) et \( f(1) = 1 \). Ainsi, dans l'intégrale \( I(a,b) \), on peut faire le changement de variable: \[ \sin \theta = \frac{2 a \sin \phi}{(a + b) + (a - b) \sin^2 \phi} \] On a alors: \[ \sin^2 \theta = \frac{4 a^2 \sin^2 \phi}{((a + b) + (a - b) \sin^2 \phi)^2} \] d'où \[ \begin{aligned} \cos^2 \theta \; & = 1 - \sin^2 \theta \\ & = \frac{((a + b) + (a - b) \sin^2 \phi)^2 - 4 a^2 \sin^2 \phi}{((a + b) + (a - b) \sin^2 \phi)^2} \end{aligned} \] donc \[ \begin{aligned} a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta \; & = \frac{a^2((a + b) + (a - b) \sin^2 \phi)^2 - 4 a^4 \sin^2 \phi + 4 a^2 b^2 \sin^2 \phi}{((a + b) + (a - b) \sin^2 \phi)^2} \\ & = a^2 \frac{((a + b) + (a - b) \sin^2 \phi)^2 - 4 (a^2 - b^2) \sin^2 \phi}{((a + b) + (a - b) \sin^2 \phi)^2} \\ & = a^2 \frac{((a + b) - (a - b) \sin^2 \phi)^2}{((a + b) + (a - b) \sin^2 \phi)^2} \end{aligned} \] ce qui donne: \[ \sqrt{a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta} = a \frac{(a + b) - (a - b) \sin^2 \phi}{(a + b) + (a - b) \sin^2 \phi} \tag{1} \] En dérivant l'expression du changement de variable \( \sin \theta = f(\sin \phi) \), il vient: \( \cos \theta \mathrm{d} \theta = \cos \phi f'(\sin \phi) \mathrm{d} \phi\). Donc, en reprenant l'expression de \( f' \) plus haut, on trouve: \[ \cos \theta \; \mathrm{d} \theta = 2 a \cos \phi \frac{(a + b) - (a - b) \sin^2 \phi}{((a + b) + (a - b) \sin^2 \phi)^2} \mathrm{d} \phi \] d'où \[ \mathrm{d} \theta = 2 a \frac{\cos \phi}{\cos \theta} \frac{(a + b) - (a - b) \sin^2 \phi}{((a + b) + (a - b) \sin^2 \phi)^2} \mathrm{d} \phi \tag{2} \] En divisant \((2)\) par \((1)\), on trouve: \[ \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{a^2 cos^2 \theta + b^2 sin^2 \theta}} = 2 \int_0^{\pi/2} \frac{1}{(a+b)+(a-b) \sin^2 \phi} \frac{\cos \phi}{\cos \theta} \mathrm{d} \phi \tag{3}\] En reprenant l'écriture de \( \cos^2 \theta \): \[ \cos^2 \theta = \frac{((a + b) + (a - b) \sin^2 \phi)^2 - 4 a^2 \sin^2 \phi}{((a + b) + (a - b) \sin^2 \phi)^2} \] développons le numérateur que nous notons \( N \): \[ \begin{aligned} N \; & = ((a + b) + (a - b) \sin^2 \phi)^2 - 4 a^2 \sin^2 \phi \\ & = (a + b)^2 + 2(a + b)(a - b) \sin^2 \phi + (a - b)^2 \sin^4 \phi - 4 a^2 \sin^2 \phi \\ & = (a + b)^2 + 2(a^2 - b^2) \sin^2 \phi + (a - b)^2 \sin^4 \phi - 4 a^2 \sin^2 \phi \\ & = (a + b)^2 - 2(a^2 + b^2) \sin^2 \phi + (a - b)^2 \sin^4 \phi \end{aligned} \] En notant que \( a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2 a b \) et que \( (a - b)^2 = (a + b)^2 - 4 a b \), on peut alors écrire: \[ N = (a + b)^2 - 2(a + b)^2 \sin^2 \phi + 4 a b \sin^2 \phi + (a + b)^2 \sin^4 \phi - 4 a b \sin^4 \phi\] Ce qui donne: \[ N = (a + b)^2 (1 - 2 \sin^2 \phi + \sin^4 \phi) + 4 a b (\sin^2 \phi - \sin^4 \phi) \] soit: \[ N = (a + b)^2 (1 - \sin^2 \phi)^2 + 4 a b \sin^2 \phi (1 - \sin^2 \phi) \] et, comme \( \phi \in [0; \pi/2] \): \[ N = (a + b)^2 \cos^4 \phi + 4 a b \sin^2 \phi \cos^2 \phi \] \[ N = 4 \cos^2 \phi \left( {\left( \frac{a + b}{2} \right)}^2 \cos^2 \phi + a b \sin^2 \phi \right) \] D'où: \[ \cos^2 \theta = \frac{4 \cos^2 \phi \left( {\left( \frac{a + b}{2} \right)}^2 \cos^2 \phi + a b \sin^2 \phi \right)}{((a + b) + (a - b) \sin^2 \phi)^2} \] et donc: \[ \frac{\cos \phi}{\cos \theta} = \frac{(a + b) + (a - b) \sin^2 \phi}{2 \sqrt{{\left( \frac{a + b}{2} \right)}^2 \cos^2 \phi + a b \sin^2 \phi}} \] Dans l'expression \((3)\), cela donne alors: \[ \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{a^2 cos^2 \theta + b^2 sin^2 \theta}} = 2 \int_0^{\pi/2} \frac{1}{(a+b)+(a-b) \sin^2 \phi} \frac{(a + b) + (a - b) \sin^2 \phi}{2 \sqrt{{\left( \frac{a + b}{2} \right)}^2 \cos^2 \phi + a b \sin^2 \phi}} \mathrm{d} \phi \] soit: \[ \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{a^2 cos^2 \theta + b^2 sin^2 \theta}} = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d} \phi}{\sqrt{{\left( \frac{a + b}{2} \right)}^2 \cos^2 \phi + {\left( \sqrt{a b} \right)}^2 \sin^2 \phi}} \] Donc, en reprenant la notation \( I(a,b) \), on vient de montrer que: \[ I(a,b) = I \left( \frac{a+b}{2} , \sqrt{a b} \right) \tag{4}\] Les suites \( (a_n) \) et \( (b_n) \) associées à la moyenne arithmético-géométrique vérifient donc: \[ I(a,b) = I(a_0,b_0) = I(a_1,b_1) = I(a_2,b_2) = ... = I(a_n,b_n) \] la fonction \( \phi \longmapsto \frac{1}{\sqrt{a_n^2 \cos^2 \phi + b_n^2 \sin^2 \phi}} \) converge uniformément si \( n \longmapsto + \infty \) vers \( \frac{1}{M(a,b)} \), on peut donc intervertir la limite et l'intégrale pour finalement obtenir: \[ I(a,b) = \lim_{n \to + \infty} I(a_n,b_n) = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}\theta}{M(a,b)} = \frac{\pi}{2 M(a,b)} \]

Mais, me direz-vous, ce n'est pas exactement le résultat trouvé initialement par Gauss. Pour obtenir cette égalité, comme conséquence du théorème que l'on vient de démontrer, il suffit de faire le changement de variable \( t = \cos \theta \) : \[ \begin{aligned} \omega \; & = \int_0^1 \frac{\mathrm{d} t}{\sqrt{1 - t^4}} \\ & = \int_{\pi/2}^0 \frac{- \sin \theta \mathrm{d} \theta}{\sqrt{1 - \cos^4 \theta}} \\ & = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin \theta \mathrm{d} \theta}{\sqrt{(1 + \cos^2 \theta)(1 - \cos^2 \theta)}} \\ & = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d} \theta}{\sqrt{1 + \cos^2 \theta}} \end{aligned} \] Il vient donc: \[ \omega = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d} \theta}{\sqrt{2 \cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = I(\sqrt{2},1) = \frac{\pi}{2 M(1,\sqrt{2})} \] CQFD.

Hormis le fait de fournir une méthode très rapide pour calculer \( I(a,b) \), le résultat que nous venons de montrer ne vous paraît-il pas étonnant ? En particulier l'égalité \( (4) \) qui, outre sa beauté, nous montre une forme d'invariance de l'intégrale \( I(a,b) \) ?

Il faut savoir que les intégrales du type de \( I(a,b) \) étaient très étudiées à la fin du 18e siècle. Et une relation comme \( (4) \) était tout à fait inattendue. Beaucoup de mathématiciens de l'époque, dans leur soucis de généralisation et leur soif de découvertes, y virent une étrange propriété qui en cachait probablement d'autres qu'il fallait mieux comprendre. Nous allons suivre leurs traces et étudier, à notre tour, ces intégrales elliptiques dans le chapitre suivant.

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