Que sont les mathématiques ? Quand sont-elles "nées" ? À quoi servent-elles ? Pourquoi, d'ailleurs, dit-on les mathématiques et pas la mathématique (comme on dit la physique, l'économie ou l'informatique) ? Pourquoi font-elles peur à tant de monde ? Pourquoi sont elles si clivantes à l'école au sens où se distinguent rapidement les élèves 'bons en math' de ceux 'nuls en math' mais, surtout, où cela passe pour une faculté innée ? Et enfin: pourquoi devriez-vous lire ces pages, que vous vous croyiez bons ou mauvais en math ?

Je vais tenter de présenter mes réponses à ces questions. N'étant pas question de copier-coller des informations déjà disponibles sur internet, je vais donner mon point de vue, assurément subjectif mais néanmoins issu de mes études, mon expérience et mon recul sur la chose.

Que sont les mathématiques ?

Dans l'idée d'une définition simple et succinte, je dirais: l'étude des structures abstraites. Sans trop aller dans les détails, cette définition embrasse l'essence des mathématiques dans la totalité de ses nombreux domaines. Elle permet d'apporter des réponses aux autres questions et, finalement, de comprendre les clivages précédemment cités.

Alors, le mot structure est le plus discutable. Mais je vais le justifier en éclaicissant plutôt le groupe structure abstraite par des exemples qui, je l'espère, permettront de le comprendre.

L'ensemble des entiers naturels, représentations du 'comptage' d'indivisibles, est bien abstrait. Mais il peut être muni d'une 'structure' par leurs liens de 'successeur', 'prédecesseur' (pas toujours...) ou par les opérations d'addition, soustraction (pas toujours...), multiplication, division entière, etc... L'étude de cette 'structure abstraite' permet, entre autres, déjà de parler de nombre premier, notion très chère aux mathématiciens...

L'ensemble des entiers relatifs permet, en élargissant celui des entiers naturels, de tous pouvoir les soustraire, leur donnant ce qu'on appelle une structure d'anneau. Si on veut pouvoir les diviser, il faudra alors étendre cette structure pour obtenir les nombres rationnels...

Mais justement, quittons l'arithmétique et voyons tout ce que l'on peut ajouter, soustraire où multiplier: des polynômes ou des matrices (si elles ont la bonne taille...), ce sont d'autres anneaux. Si on veut les diviser, il faudra 'en faire' des corps (comme les rationnels ou les fractions rationnelles). Mais on pourrait vouloir les multiplier par d'autres objets (comme multiplier des vecteurs, des matrices ou des polynômes, par des nombres réels) construisant là (presque) une structure d'espace vectoriel. Et s'ils se multiplient entre eux mais aussi par d'autres 'nombres' (avec toutes les règles qui vont bien...), on voit apparaître la notion d'algèbre. Et justement, l'étude de ces polynômes, matrices, vecteurs, anneaux, corps, etc... s'appelle l'algèbre (je passe outrageusement les détails ici). Et partout où l'on pourra dégager des structures similaires, on parlera de structures algébriques.

À quoi servent-elles ?

Eh bien, partout où l'on peut dégager des structures abstraites. Mais pas seulement...

En effet, un peu comme monsieur Joudain faisait de la prose sans le savoir, tout le monde fait bien souvent des Mathématiques sans le savoir.

Chaque fois que l'on fait sa comptabilité, on ajoute, soustrait, multiplie ou divise des nombres. Ces nombres sont les représentations abstraites des sommes d'argent que l'on manipule, et les opérations effectuées sont dictées par des règles mathématiques.

Si vous avez déjà repeint un mur ou une facade, vous aurez noté qu'il est bien judicieux d'en calculer la surface auparavant. Ceci se fait par des multiplications de longueurs et, si la surface n'est pas triviale, par un jeu subtil d'additions et de soustractions. Ces règles, bien que parraissant élémentaires voire logiques, sont établies mathématiquement...