Joyau des Mathématiques, à la croisée de quasiment tous les domaines, le nombre \(\pi\) a toujours eu une place particulière dans le coeur de ceux qui s'interessent aux mystères du monde mathématique, et même du monde tout court. Il apparaît ainsi en physique, caché dans la symétrie sphérique, dissimulé dans l'ombre de sa petite soeur, la fonction exponentielle, partout où un problème différentiel se manifeste. En probabilités, au détour de la gaussienne, en physique quantique, royaume des ondes, on retrouve \(\pi\). Ce nombre a indéniablement sa place au sein des constantes universelles de notre univers, aux côtés de la vitesse de la lumière, de la constante de Planck et de la constante de gravitation.

Lorsqu'il y a plusieurs années, je découvrai ma passion pour les mathématiques, je ne fus pas épargné par le magnétisme de \(\pi\). Et, dés l'âge de quinze ans, en même temps que mes premiers pas en programmation, \(\pi\) fut le prétexte rêvé pour me lancer dans le calcul en précision arbitraire. Ainsi, comme des centaines de mathématiciens pendant plus de 2500 ans, il m'emmena à explorer le monde mathématique, à la recherche de formules, de suites et de théorèmes qui me le ferait mieux connaître. Et, à chacune de ces occasions, il m'apparut que la mathématique est une science vivante, où se côtoient harmonie, complexité, difficulté et merveilleux. C'est cette passion et cet émerveillement que je souhaite partager à travers ces pages.

L'histoire de \(\pi\), riche en trouvailles géniales, en impasses et en rebondissements, est à l'image de l'histoire des Mathématiques. Elle est jalonnée des mêmes illustres penseurs et génies scientifiques, et il est impossible, en parlant de \(\pi\), de ne pas citer Archimède, Newton, Euler, Gauss et Ramanujan, pour ne citer qu'eux.

Histoire

L'une des plus anciennes traces de mesure de l'aire d'un disque est la tablette de Suse, une tablette cunéïforme babylonienne datant d'environ 2000 ans avant notre ère et découverte en 1933 sur les lieux d'un site de fouilles en Iran. Cette tablette indique que l'aire d'un disque de circonférence \(1\) est \(\frac{1}{12}\), ce qui correspondrait à une valeur de \(3\) pour \(\pi\). Mais peu plus loin, il y est mentionné un "facteur de correction" de \(\frac{24}{25}\). En tenant compte de ce facteur, on aurait alors une valeur de \(3,125\) pour \(\pi\), ce qui est bien plus précis. Il faut noter, toutefois, que cette tablette énonce une règle de calcul pour évaluer l'aire "contenue" dans un cercle, et non une constante de proportionnalité entre l'aire d'un disque et le carré de son rayon. C'est notre interprétation de cette règle qui nous fait dire qu'ils approximaient \(\pi\) par \(3,125\).

En Egypte aussi les géomètres éprouvaient le besoin d'estimer la surface de terrains aux formes diverses. C'est pourquoi les égyptiens de l'époque avaient développé un moyen de calculer la surface de terrains circulaires, en fait, de donner la longueur du côté d'un carré de même surface. C'est l'objet du papyrus Rhind, copié aux environs de 1700 ans avant J.C. par le scribe Ahmès. Il explique qu'il faut ôter un neuvième au diamètre pour obtenir le côté d'un carré de même aire. Ce qui reviendrait à estimer \(\pi\) par \(\frac{256}{81} \simeq 3,1604\).

Chez les grecs aussi, \(\pi\) n'était pas considéré comme un nombre au sens où on l'entend de nos jours, mais comme un rapport, le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre. Les grecs de l'époque pensaient que toutes les "quantités" sont commensurables (en langage moderne, on dirait: rationnelles), c'est à dire des rapports des seuls vrais "nombres": les entiers. On retrouve là, au passage, les prémisses (ou l'influence) des idées de Démocrite selon lesquelles tout serait constitué "d'indivisibles"...

Il faut attendre Archimède, au cours du troisème siècle avant J.C., pour trouver le premier encadrement du rapport de l'aire du cercle au carré de son diamètre (donc \(\frac{\pi}{4}\)), ainsi que la justification géométrique de cet encadrement. Et, de plus, cette justification repose sur un procédé où il "enferme" le cercle entre deux polygônes pour lesquels il augmente le nombre de côtés. C'est un procédé itératif ! L'un des premiers de l'histoire, à ma connaissance, avec l'algorithme d'Euclide et la méthode de Héron.

L'approximation d'Archimède restera la meilleure pendant environ 400 ans, jusqu'à Ptolémée au 2^e siècle pour qui \(\pi \simeq \frac{377}{120}\). Puis, au 5^e siècle, le mathématicien et astronome chinois Zu Chongzhi trouvera la célèbre \(\frac{355}{113}\) qui donne 6 décimales exactes. Il fournira même un encadrement légèrement plus précis que cette dernière fraction. Ensuite, il faut noter l'exploit d'Al-Kashi qui en 1429, donne, en base 60, l'équivalent de 16 décimales, toujours par une méthode proche de celle d'Archimède. C'est environ à cette époque, qu'en Europe, commença la "course aux décimales", avec la popularisation de la numérotation décimale. En 1609, Ludolf Van Ceulen pousse le calcul à l'extrème et met plus de 10 ans pour obtenir 35 décimales de \(\pi\) (qui ne porte pas encore ce nom).

Vient ensuite l'avènement du calcul différentiel et intégral qui fournit de nombreuses séries, notamment pour l'arcsinus (Newton) et l'arctangente (Madhava, Gregory et Leibniz). Les 17^e et 18^e siècles virent une explosion des Mathématiques et, en particulier, des formules faisant intervenir \(\pi\). Et dés le début du 18^e, en 1706, John Machin franchit la barre des 100 décimales grace à sa célèbre formule. La même année, Sir William Jones publie un traité dans lequel il utilise la notation \(\pi\) pour le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre. Euler reprendra cette notation dés 1736 et, à la fin du 18^e siècle, elle se généralisa définitivement.

Jusque là, hormis l'aspect "sportif", la course aux décimales pouvait aussi être motivée par la recherche d'un cycle dans le développement décimal de \(\pi\), ce qui aurait alors pu laisser croire qu'il est rationnel. Mais en 1761, Johann Heinrich Lambert mis fin à cet espoir en montrant que \(\pi\) est irrationnel. Peu de temps après, Legendre montrera avec la même méthode que \(\pi^2\) est également irrationnel.

Vint le 19^e siècle, pendant lequel le record de décimales passa de 140 à 707 (mais avec seulement 527 justes), tous calculés à l'aide de développements en série de la fonction arctangente. Mais surtout ce siècle fut celui de deux grands bouleversements au sujet de \(\pi\). D'abord, les travaux de Gauss, Abel et Jacobi sur les intégrales elliptiques, la moyenne arithmético-géométrique (déjà connue de Lagrange et Legendre) et les fonctions modulaires. Ces travaux allaient être les prémisses au développement des formules les plus récentes qui ont permis d'établir les derniers records. Et, ensuite, les démonstrations de transcendance de \(e\) par Charles Hermite en 1872 et de \(\pi\) par Carl Louis Ferdinand Lindemann en 1882. Cette dernière mettant un terme définitif au problème de la quadrature du cercle par la négative.

Le 20^e siècle vit passer Srinivasa Ramanujan, étoile filante des mathématiques et extraordinaire génie autodidacte. Il donnera des formules parmis les plus belles, graines magiques dont les fruits, aujourd'hui encore, ne cessent de susciter la curiosité et d'apporter l'émerveillement. Comme dans les paragraphes précédents, je ne peux mettre, ici, tous les noms que j'aimerais. Néanmoins, et pas seulement parce que leur livre fut pendant vingt ans mon livre de chevet et qu'aujourd'hui encore il ne me quitte jamais, mais aussi parce qu'ils ont apporté la lumière sur l'oeuvre de Ramanujan et sur \(\pi\), je ne peux terminer ce petit historique sans citer les frères Borwein.

A ce jour plus de deux cent mille milliards de décimales de \( \pi \) sont connues. Cela ne surprendra probablement pas les ignorants qui croient que les ordinateurs peuvent tout calculer facilement. Mais quiconque a un jour écrit un programme faisant ce genre de calculs ne restera pas indifférent face à un tel résultat. D'autant plus que ce ne sont pas sur des supercalculateurs que ces calculs ont été effectués mais sur des ordinateurs personnels.

Plusieurs problématiques sont à prendre en compte pour calculer des milliards de décimales de \( \pi \). D'une part, il faut une programmation très soigneuse et bien optimisée. Cela passe par un langage d'assez bas niveau (voire le recours à un peu d'assembleur) et par une bonne connaissance de l'architecture matérielle (processeur, caches, disques durs, etc...). Ensuite, il faut correctement programmer les bons algorithmes, ceux dont la complexité est la plus adaptée à la taille des données traitées. Mais surtout, il faut utiliser les bonnes formules, mathématiquement parlant, les suites à la convergence la plus rapide. Ce dernier point est parfois négligé au profit d'un usage de l'assembleur ou de librairies optimisées.

Nous aurons l'occasion de voir qu'avec le même code, sur la même machine, les performances dépendent énormément des suites utilisées pour approcher \( \pi \).

\( \pi \) sur ce site

Cela fait maintenant plus de 35 ans que je suis passionné par \( \pi \). Au cours de cette période, j'ai refait la plupart des démonstrations classiques et également les démonstrations des résultats plus récents. Ces dernières étant beaucoup longues et complexes, elles ne sont quasiment jamais proposées sur internet. Ce sont surtout celles-ci que j'aimerais présenter sur ce site.

Le lecteur pourrait être parfois dérouté par le style différent d'une page à l'autre et aussi par les démonstrations, calculs et développements pas toujours rédigés de manière académique. Sachez que tous les calculs présentés ici sont issus de mes très nombreuses notes manuscrites rédigées sur une dizaine de cahiers, de nombreux blocs-note et un grand nombre de feuilles tout au long de cette période.

Le but est de montrer comment sont obtenus toutes les formules et algorithmes les plus célèbres sur \( \pi \) et eventuellement d'aider le lecteur intéressé à les refaire lui-même. Parfois la rigueur mathématique laissera à désirer, notamment l'usage des théorèmes classiques (de convergence dominée ou de Fubini pour ne citer qu'eux) ne sera pas toujours explicitement cité ni même la vérification de leurs prérequis. Disons, en toute mauvaise foi, qu'ils sont laissés en exercice. Plus sérieusement, j'ai estimé que cela alourdirait encore plus ces pages déjà très (trop ?) denses. Merci de votre compréhension.